Privatemil:
>Minden - számjegyekkel véges hosszan leírható - szám ötödik
>hatványa ugyanazzal a számjeggyel végzodik, mint maga a szám?
Felsős általános iskolás szinten:
Könnyen igazolható, hogy (10*k+i)^5 =10*N+i^5 minden k és 0<=i<10 esetén egy al
kalmas N-nel.
(persze ez nem csak 5-ös kitevővel van így).
Ha tehát a 0,1,2,...9 számokra igaz, hogy 5-ik hatványuk utolsó számjegye megeg
yezik a számmal, akkor minden számra igaz lesz.
Pl. Excellel egyszerűen meggyőződhetünk ennek igazáról:
i i^5
-------------
1 1
2 32
3 243
4 1024
5 3125
6 7776
7 16807
8 32768
9 59049
Vagy egy formálisabb, számelméleti módszer (középiskolás szint): 10|n^5-n ezt k
ell bizonyítani.
n^5-n=n*(n^4-1)=n*(n^2-1)*(n^2+1)=n*(n-1)*(n+1)*(n^2+1)
Ez a szorzat nyilván osztható 2-vel (n-1 és n szomszédosak, tehát az egyik közü
lük biztosan páros).
ha n 5-tel osztva 0, 1, 4 maradékot ad, akkor n, n-1 illetve n+1 osztható 5-tel
.
Ha n 5-tel osztva 2 vagy 3 maradékot ad, akkor n=5*k+-2, n^2+=25*k^2+-20*k+4, t
ehát n^2+1 =25*k^2+-20*k+5=5*(5*k^2+-4*k+1) osztható 5-tel
Tehát minden esetben n osztható 2-vel és 5-tel is, tehát - mivel 2 és 5 relatív
prímek - osztható 10-zel is.
Énekes Béla
|
