Thus spake HIX TUDOMANY:

> Nalam a lemezek felporgesenel sziszego hang is elofordul, ami talan
> arra utal, hogy a megfogas helyen megcsuszas lep fel, es
> a surlodasi ho ....

Lehet hogy csuszik is, de a meghajtok jellegzetes sziszego hangjat
a lencset mozgato szervo okozza amikor meg alacsony a lemez
fordulatszama. Ha egy hibas meghajtot szetszedve probalsz mukodtetni,
es a motort kiiktatva kezzel forgatod a lemezt, ugyanezt a csunya
sziszegest fogod hallani. Ha jol megporgeted, a hang eltunik.
Ha a lemez nehezen olvashato, akkor fantasztikus cicergest tud
muvelni.

> Stop ! Kiserleteztem gyorsan egyet. Ongyujtoval megmelegitettem egy
> CD-t a lyuknal, es rogton 3 helyen berepedt !
> (a tudomany oltaran felaldoztam egy WIN95 telepitot :)

Sponsored by M$ :) Ennyi lenne az egesz? A melegtol mennek tonkre?
Kicsit hihetetlennek tunik... Erdekes hogy a cd irokban altalaban
van kis cooler ami kifujja a meleget a meghajtobol, az olvasokban
nincs ilyen.

> Valaki irta a GURU-ban regebben, hogy kulfoldrol egy nyilegyenesen
> berepedt CD-t kapott, es azt gondolta atgyalogoltak rajta.
> Lehet, hogy tul meleg helyen utaztattak.

Ezt tipikusan a postasbacsi okozza, amikor szallitas kozben a zsak
legaljara kerul a level, vagy amikor a cd-t tartalmazo boritekot
megprobalja belekalapalni a postaladaba...

> Mindenesetre ovatosnak kell lenni, hiszen akar kolcsonkapunk CD-t,
> akar kolcsonadunk - kinos helyzetet okozhat a tonkremenetele.

Nem ez a legveszelyesebb. Az irt cd-k felso oldalarol nagyon
konnyen lejon a folia, es akkor vege. Sokan azt hiszik hogy csak
a zold oldalat kell vedeni ahonnan az olvaso olvassa, es a feliratot
tartalmazo masik oldalt lehet gyepalni, pedig pont az az erzekenyebb
oldala. Bizonyos nagynevu cegek termekeirol egyetlen rossz
mozdulattal felszakithato a folia.

> Udv: zoli

-- 
Valenta Ferenc >   Visit me at http://ludens.elte.hu/~vf/
READY.

Kedves Ferenc!

Csak roviden reagalok nehany gondolatra, mivel az elozo cikkemben is eppen
ezekkel a kerdesekkel foglalkoztam.

>>A matematika temaja ennel sokkal szukebb, csak a
>>vilagban fellelheto formak termeszetet vizsgalja.
>Nem kevered a fizikaval? A mametatika nem modellez, nem a
>vilagot vizsgalja mint a termeszettudomanyok altalaban hanem
>elvont strukturakkal foglalkozik.

A matematika es mas tudomanyok kapcsolata ket oldalu. Minden mas
tudomanybeli matematikai leiras a matematika szamara is egy szemleletes
igazolas. Ha nem az lenne, akkor mas tudomanyok sem igenyelnek a
matematikat a maguk tudomanyossaganak igazolasara. Nagymertekben eppen ez a
ketoldalu kapcsolat a tudomanyossag kriteriuma mindket oldal szamara.

>>... mint barmely matematikai kifejezes, de ezeket a gondolatokat nem
>>lehet formalizalni.
>Olyan nincs. Amit nem lehet formalizalni az nincs.

|\
| \
|  \
+---\
|    \
|     \
-------\

Ez itt ket hasonlo derekszogu haromszog, amelyen szemleletesen lehet
bemutatni a hasonloságot, a parhuzamos szelok tetelet, a szogfuggvenyek
ertelmezeset, es meg seregnyi matamatikai fogalmat, tetelt es azonossagot.
Hogyan tudnad ezt a szemleletes prezentaciot formalizalni ugy, hogy
megmaradjon az egyszerusege, es szemleletessege? Vagy azt akarod allitani,
hogy amit felrajzoltam, az nem letezik? Vagy azt hiszed, hogy a rajz
alapjan definialhato matematikai fogalmak hamisak? Vagy talan azt gondolod,
hogy ennek nehezen kovetheto formalis leirasa helyettesiteni tudja ezt a
szemleletesseget? Felejtsd el. Ez a szemleletesseg semmivel nem
helyettesitheto, es csak az a formalizmus helyes, amelyben az effele
szemleletesseg ellentmondasmentesen levezetheto. Lehetnek, es vannak is a
matematikanak olyan kiterjesztesei, amelyben ezek a peldak mar nem
mukodnek, peldaul a nem euklideszi geometria, de ezek csupan kiterjesztesei
a matematikanak, es semmikeppen sem az altarnativai, vagy helyettesitoi. De
ezeknek a kiterjeszteseknek is gyakran leteznek szemleletes abrazolasai,
peldaul a nemeuklideszi geometrianak a terido. Vagy hogyan formalizalod a
formalizmus fejlodeset, az axiomak magalkotasanak folyamatat? Vagy ez nem
matamatika?

>A Cantor vagy Galois-szintu felistenekhez kepest mi foldi halandok
>apro fergek vagyunk, soha sem leszunk kepesek ugy attekinteni egy
>kicsit is bonyolultabb bizonyitast mint ok.

Ez csupan egy koros pszihologiai allapot leirasa, amelybol eppen az
kovetkezik, hogy a formalizmus csupan egy potszer a tokeletlenseg
elfedesere.

Udv: Takacs Feri

Üdv a társaságnak!

Elnézést, hogy beleütöm az orromat olyasmibe, amihez
nem értek, de szeretném megtudni:

ugye a TUDOMÁNY-ban zajló vita a végtelen létráról és
kúpról (+racionális-irrac. számok, etc.) alapjában
véve arról szól, hogy Takács Feri szerint VÉGTELEN sok
VÉGTELEN SZÁM létezik, míg az ellentábor szerint
ilyen, hogy végtelen SZÁM nincs is?

Köszönettel: András

__________________________________________________
Do You Yahoo!?
Yahoo! Auctions - buy the things you want at great prices
http://auctions.yahoo.com/

Szia taxi,

Par hibadra felhivnam a figyelmedet:

> Sajnos emiatt az ultrafilter definicoja
> hibas.

A definicio akkor lenne "hibas", ha bizonyithato lenne, hogy nincs olyan
halmaz(rendszer), ami kielegitene az ultrafilterrel szemben tamasztott
kovetelmenyeket.

> Nem igaz tetszoleges T indexhalmazra, hogy ha T nem eleme U-nak,
> akkor N-T eleme.

Ez nem igaz, ugyanis ellentmond az ultrafilter egyik tulajdonsaganak:

"Tetszoleges A reszhalmaza N-nek eseten, A es N-A kozul az egyik, de csak az
egyik, eleme az ultrafilternek."

> Szerintem bizonyosan nem jon elo ez a hiba, ha megmaradtal volna
> a relaciok eredeti ertelmezese mellett, tehat "veges sok elem kivetelevel"
> koveteled meg a relaciok teljesuleset.

Szerintem probald meg igazolni/bizonyitani ezzel az ertelmezessel a relaciok
szukseges tulajdonsagainak teljesuleset. Ezen a modon ertekes
tapasztalatokat szerezhetsz.

> A nemsztenderd szamok Cauchy-sorozatok, 

A nemsztenderd szamkor altalam vazolt konstrukcioja _sorozatokon_ alapul. Az
osszes sorozaton es nem csak a konvergens sorozatokon.

> lim { n } = inf, az infinitezimalis szamot sorozatkent felirva
> {inf,inf,inf,...}

Ennek igy semmi erteleme, kevered az egyes szamkoroket egymassal.

> Vagyis bizonyos definiciokat nem lehet kikerulni csupan azert, mert nem
> tetszik.

Vagyis bizonyos "definiciokat" nem leirni csupan azert, mert tetszik.

> Megjegyzem, mas baja is van a vegtelen nagy szamnak nevezett {n}
> sorozatnak. Ugyanis ez nem a legnagyobb szam, hiszen a {2n},{n^2},{n!},
stb
> sorozatok mind nagyobbak nala, es nem is lehet felso korlatot adni ezekre

Valoban, nincs se legkisebb, se legnagyobb  vegtelen nagy nemsztenderd szam.

> az ugymond vegtelen nagy szamokra, a most definialt {inf} sorozat az
> egyetlen kivetelevel, amelynel valoban nem lehet nagyobbat mondani.

Dehogynem: inf+1   :-)

z2

> Ujbol egy idezettel kezdem, Lakatos Imre: Bizonyitasok, es cafolatok cimu
> konyvenek eloszavabol: ...

Nekem nagyon tetszett, en is csak ajanlani tudom.

> tunhet, de korlatos, es nem lehetseges belole kitekinteni a multra, vagy a
> valosagra.

A formalizmus a matematikai "valosag" leirasanak (szakmai)nyelve. Nem igazan
ertem, hogy miert kellene ezen a feladatkoron tul barmire is alkalmasnak
lennie? A "formalista" matematika folyamatos fejlodeset Godel nem-teljessegi
tetelei biztositjak, igy nem beszelhetunk "korlatrol". A multtal meg
foglalkozzanak a torteneszek.

> szakbarbarok, akik alkalmazni tudjak a matematikat, de megalkotni
> keptelenek.

Gondolom ez egy megalapozott velemeny, ami a "formalista" matematikusok
munkassaganak reprezentativ mintajat alaposan tanulmanyozva, es teljes
mertekben megertve, alakult ki benned. Ellenkezo esetben <itt a lista
szellemisegehez meltatlan, durva, sulyosan serto szavak voltak, de
kitoroltem>

> Nagyon sok dolog van amit konnyebb megmutatni, mint elmagyarazni, vagy
> konnyebb szemleltetni, mint formalizalni, sot amit egyaltalaban nem lehet
> formalizalni.

Nagyon sok dolog van amit konnyu megmutatni, konnyu szemleltetni, es nem
lehet formalizalni, mivel nem igaz. Peldaul:

A hetkoznapi szemlelettel teljesen osszhangban, egy nagyobb szam sohasem
aranylik ugy egy kisebbhez, mint egy kisebb szam egy nagyobbhoz.

De: 1/-1 = -1/1 Akkor most melyk a rossz, a szemleletes szoveg, vagy a
formalizalt ? A helyes valasz termeszetesen az, hogy a formalizalt allitas a
helyes, mivel az bizonyithato.

Formalizalas nelkul nincs bizonyitas, bizonyitas nelkul nincs igazsag. Ami
nem (biztos hogy) igaz, az meg kit erdekel ?


z2

> lim Qn = R[0,1], vagyis az R[0,1] intervallumbeli barmely r valos szamra
> kijelolheto a {Qn} halmazsorozatbol egy {qn} racionalis szamsorozat (qn
> eleme Qn, barmely n-re), amelyre lim qn = r. QED

A QED jeloles egy bizonyitas veget jelzi, nem pedig egy definicioet.

Nem ertem, mire jo ez a Qn sorozat, ha csak az a trivialis igazsag jon ki
belole, vagyis inkabb a "hatarertekebol", hogy a valos szamokat a konvergens
racionalis szamsorozatok adjak meg ?


z2

Lehet, hogy talaltam egy szokatlan megkozelitest arra, hogy a
feketelyuk miert fekete ?

Vegyunk elobb egy kozonseges bolygot, mely hajlitja a fenyt.
A rajta lakok odalent emiatt kisse tullatnak azon a horizonton,
melyet a klasszikus geometria alapjan lehetne szerkeszteni.
( Igaz, a messzebbre latashoz kisse fel kell emelniuk tekintetuket.)
Minthogy maguk a feny terjedeset kifogastalan egyenesnek tapasztaljak, 
emiatt a bolygojuknak a latokorukben levo felszinet laposabbnak es 
kisebbnek velik, mint amilyen egy tomeg nelkuli gombon adodna.
( Egy idealis lapos fennsikot pedig homorunak latnak.)

Ha van egy bolygon kivuli lebego megfigyelonk is, o ugy
latja, hogy a bolygon lassabban mukodnek a dolgok, hiszen a feny
es minden hatas hosszabb utakat jar be a ter gorbultsege folytan, 
es a bolygo kintrol lathato felszine kintrol nezve kiterjedtebb,
mint abban az esetben lenne, ha nem lenne tomege. 

A feketelyuksaghoz kozeledo egitest atmeroje kintrol ennek 
alapjan viszont nagyobbnak latszik, de a merete fugg a megfigyeles
tavolsagatol. ( Gondolom lyukka valaskor lesz egy kritikus tavolsag, 
ahonnan mar nem lehet elvilagitani mellette a kulvilag fele erintoleges 
iranyban, mert a feny parhuzamosan terjedne a vegtelenne valni latszo
felszinnel.)

Ha a felszine kintrol, es viszonylag kozelrol figyelve extrem naggya 
valik, attol kezdve egyre feketebbnek, es hidegebbnek latszik. 
Attol a sugartol kifele - ahol a felszin maximalizalodik es 
homerseklet minimalis, ugyancsak nem tapasztalhato a sugarzasa sehol.
Egy benti felszini megfigyelo szamara pedig a belvilaga egyre szukebb es 
zartabb, homorulva kore-fonodobb, es a kulvilag is olyasfele, 
mintha halszem optikan at jonne - barmerre tekint - a kinti vilag 
2.7 Kelvinje helyett - pokoli meleg mindenhonnan.

Udv: zoli

Takacs ferenc:
> Ujbol egy idezettel kezdem, Lakatos Imre: Bizonyitasok, es cafolatok cimu
> konyvenek eloszavabol:
> >> A formalizmus nem hajlando matematikanak tartani annak nagy reszet,
amit
> altalaban oda sorolnak, s a matematika fejlodeserol egy szot sem tud
> szolni.
Valoban, a formalis axiomatizmus nem alkalmas matematikatorteneti
eszmefuttatasokra. az egy mas teszta, es nem errol beszelunk.
> Newtonnak negy evszazadon at kellett varakoznia, mignem Peano, Russel es
> Quine vegul besegitette a mennyorszagba, miutan sikerult formalizalniuk az
> analizist. <<
es nem igy van ez rendjen? nem onnantol igazi matematika, amiota
formalizaltak? nem ugy van, hogy azota vilagos, es ertheto, mig azelot
mindenfele ideologiak intuiciojak kozott vergodott?
> ajanlom mindenki figyelmebe. A mar elhunyt szerzo egy uj informalis
> matamatikai iranyzat vezeto egyenesige, es alapos ismeretei voltak a
> matematikarol, es annak torteneterol.
Ismereteim szerint Lakatos nem valoszinu, hogy informalis matematika hive
lett volna, vagy ha igen, akkor ez szerteagazo nezeteinek egy aprocska
epizodja. Vesd ossze, hogy Lakatos Kuhn egyik legnagyobb ellenzeke volt.
> Amit en szeretnek hangsulyozni, az
> az, hogy a formalizmus egy zart vilag, amely belurol talan mennyorszagnak
> tunhet, de korlatos, es nem lehetseges belole kitekinteni a multra, vagy a
> valosagra.
1) a matematikanak nemis kell kiterni a multra, mert az tortenelem.
2) a matematikanak a valosagra sem kell kiternie, mert az fizika
3) a matematika tehat tenyleg zart, mert nem tartozik bele a fizika es a
tortenelem, de a padban elotted ulo kislany intuitiv hajcibalasa sem. az,
hogy a matematika zart, elonye es nem hatranya: pontosan lehet tudni, hogy
micsoda es mire jo.
> euforikus vilagbol. Ha en, vagy mas formalizalja az elmeletemet, akkor a
> formalizmus kepviseloi csak annyit fognak eszrevenni, hogy egy megujitott
> mennyorszagba kerultek, es fogalmuk se lesz arrol, hogy ennek
> letrehozasahoz is matematikara volt szukseg, mert ez a matematika szamukra
> nem letezik.
dehogynem, ez a felfedezes kontextusa, amely nem formalizalhato. de a
felfedezes megis attol valik matematikava, hogy intuiciobol formalizalt
lesz. az elozmeny szukseges dolog. az intuicio a felfedezes kontextusaban
fontos dolog, a formalizalas az igazolas kontextusaban nelkulozhetetlen
dolog.
remkepekkel vitatkozol, ha azt hiszed, hogy mi az intuiciot degradalni
akarjuk. en nem leertekelem az intuiciot, hanem helyere teszem. nem
rangsorolom a felfedezest es az igazolast, sem a formalizmust es az
intuiciot, hanem kulonbseget teszek koztuk, es megvilagitom, hogy melyik
mire valo, melyikmihez szukseges.
pelda: a matematikahoz az is szukseges, hogy megszulessel. a szuletes fontos
es ertekes dolog, de a matematika megsem a szuletes, ugye?
ahhoz, hogy ertelmesen vitathato, megalapozhatoan igazolhato igazsagrol
szolo allitasokkal foglalkozzunk, szukseges az allitasok formalizalasa.
ugyanezen allitasok felfedezese nyilvan nem formalis, hiszen a formalizalas
elott tortenik. a formalizalas elhagyasa viszont lehetetlenne teszi az
ertelmes vitatkozast es igazolast.
te itt allitasokkal altal elo, amelyet feltehetoen ertelmes megvitatas
szandekaval adtal elo. ehhez mint az elobb megallapitottam, szukseges a
formalizalas. ha otthon uldogelsz es merengsz a poblemakon, akkor
megmaradhatsz az intuiciod talajan, de amint ide irsz valamit igazsagkent es
vitara szanva, akkor egzakt formalizmusra kell torekedned, kulonben nincs
ertelme a dolognak.
pelda: ime egy intuitiv allitas:
ha adva van egy egyseg sugaru gomb es egy ket egyseg sugaru gomb, nem lehet
az elsot a masodikba atdarabolni egybevago alakzatokon keresztul.
hogy miert? mert intuitiven en ebben teljesen biztos vagyok, es egyebkent is
ez olyan szep allitas.
ezzel szemben a Tarsky-Banach paradoxonnak nevezett tetel bizonyitja, hogy
van ilyen atdarabolas, ha vegtelen sok nem egybefuggo alakzatot
hasznalhatok. ez csak axiomatikus formalizmussal jonki, az intuicionizmusod
vegig tevedesben lenne az allitassal kapcsolatban.
> A formalistak azok, akik kereken megtagadjak a matematika
> fejlodesenek elmeletet mind az emberiseg, mind a sajat tanulmanyaik
> tekinteteben, szamukra csak a vegeredmeny letezik, a fejlodesi folyamat
> nem.
Fejlodes-e az, amikor Bolyai kidolgozza a nemeuklideszi geometria
axiomatikus rendszeret? szerintem az, es raadasul lenyegesennagyobb
fejlodes, mint az elotte levo nem rendszerezett gondolkodas a kerdest
illetoen. az, hogy lehetoseged vanuj axiomarendszereket kidolgozni, nyiltta
teszi amatematikat, es fejlodes lehetoseget rejtimagaban.
az, hogy nem lehet nem formalis modon fejleszteni amatematikat zartta teszi,
elhatarolja olyan dolgoktol, ami meroben mas lenne, es a racionalitasat
veszelyezteti.
>Igy a folyamatba csuszo tevedesek irant teljesen erzeketlenek.
a tevedesek irant a formalizmus a legerzekenyebb.
> keptelenek. A matematika alkalmazoi szamara az axiomak jelentik a
> kiindulasi alapot, az alkotok szamara pedig csupan egy pillanatnyi allapot
> vegeredmenyet. Nagy kulonbseg!
es ki alkotja az axiomakat? szerintem o is matematikus.
> >Legujabb ismereteink szerint a nyelv es a gondolat azonos is lehet akar.
> >Valoszinuleg lehetetlen nyelv nelkul gondolkodni, ...
> Ez eleg durva mellefogas lenne. Elni sem lehet sziv nelkul, megsem azonos
a
> sziv az emberrel. A nyelvi kozpont az agynak csak egy kis reszet foglalja
> el.
tudtommal a jelenlegi ismereteink szerint a neocortex megnagyobbodasa a
nyelv hasznalataval indult be. az osszefuggsnem esetleges, hanem
szuksegszeru. a nyelv kialakulasa elott pedig az agynak nem voltak fejlett
(gondolkodasra kepes) teruletei.
> Nagyon sok dolog van amit konnyebb megmutatni, mint elmagyarazni, vagy
> konnyebb szemleltetni, mint formalizalni, sot amit egyaltalaban nem lehet
> formalizalni. Hogyan magyarazod el a vak embernek a latast, es a szineket,
> a suketnek a hangokat, vagy a zenet? Es ha el is magyarazod, mire mennek
> vele? Latni, vagy hallani biztos nem fognak tole. Talan megtanuljak
> annyira, hogy akar vitatkozni is tudnak majd rola, de soha nem tudnak olya
n
> ervet felhozni, hogy nezd meg, vagy hallgasd meg. Pedig a latok, vagy
> hallok szamara ezek eleg eros ervek, erosebbek, mint az eszervek, vagy
> magyarazgatas.
1) a kepi, geometria nyelv is nyelv
2) ha valamit nem formalisan szemleltetsz, akkor azt nagy valoszinuseggel
felre is ertik.
3) ha a vakok ertelmesen tudnak vitatkozni alatasrol, akkor lenyegeben
ertik, es ezen az erteshez nem sokat tesz hozza az, hogy ha megmutatnad
nekik a latast.
> >a magasszintu intuicios kepessge nem korrekt matematikai targyalasi
> >modszer. az en magasszintu intuiciom ellenkezik a te magaszintu
> >intuicioddal. mi ilyenkor a teendo, ha elveted a formalizmust?
hitterites?
> Nem a formalizmust vetem el, hanem annak elsodlegesseget. Tehat bizonyos
> esetekben hasznalhato, es celszeru hasznalni, de van amikor nem lehet
> hasznalni, vagy mas modszer hasznalata celszerubb.
pontosan. en sem elsodlegesseget, hanem szuksegszeruseget mondok. vitaban,
igazolasban a formalizmus szuksegszeru. szorakozasban, brain stormingban
nem.  mi tudtommal vitatkozunk, es nem szorakozunk, vagytevedek?:)
> >Lassan kovethetetlen a koncepciod,...
> En nem emlekszem, hogy barmikor is kovetni tudtad volna az elmeletem, igy
> nem az a problema, hogy kezded elveszteni a fonalat, hanem hogy eddig meg
> nem is sikerult felvenned. Persze nem csak Te vagy igy.
nem csupan azt allitom, hogy en nem tudom kovetni, hanem kovethetetlen. a
hiba nem bennem van. ;latod, hogy itt mindenki azt mondja, hogy
kovethetetlen vagy. nem azert van ez veletlenul, mert a jo megerthetoseghez
szukseges egy erzelmektol mentes, semleges eszkoz, a formalizmus?
> vegtelen magas kuppal) van dolgunk. A hatarerteknel a termeszetes
szamokbol
> allo ixdexhalmaz vegtelen ertekeket vesz fel, hiszen a veges indexeknel
nem
> nulla a tavolsag.
te hangsulyoztad Zolinak,ohgy egy sorozat nem feltetlenul veszi fel a
hatarerteket. ez a sorozat sem veszi fel, igy nem kell vegtelenindex.
> Bar meg nem kerult szoba, de termeszetesen az infinitezimalis szamitasok
> elmeleteben is definialjak a hatarertekkepzes muveletet. Bevezetes, es
> bizonyitas nelkul kozlok nehany hatarerteket.
> lim { 1/n } = 0, az infinitezimalis szamot sorozatkent felirva {0,0,0,...}
lim (n->vegtelen) ( (1,1,...,1,..)/(n,n,...,n,... )=(0,0,...,0,...)
> lim { n } = inf, az infinitezimalis szamot sorozatkent felirva
> {inf,inf,inf,...}
ennek viszont semmi koze az elozoekhez. ne keverd ossze az infinitezimalisan
kicsi szamokat es a "vegtelen nagy nemszamokat"
> Vagyis bizonyos definiciokat nem lehet kikerulni csupan azert, mert nem
> tetszik. Megjegyzem, mas baja is van a vegtelen nagy szamnak nevezett {n}
> sorozatnak.
ezt csak te nevezed igy, senki nem mondott ilyet.
>Ugyanis ez nem a legnagyobb szam, hiszen a {2n},{n^2},{n!}, stb
> sorozatok mind nagyobbak nala, es nem is lehet felso korlatot adni ezekre
> az ugymond vegtelen nagy szamokra, a most definialt {inf} sorozat az
> egyetlen kivetelevel, amelynel valoban nem lehet nagyobbat mondani.
es pont ezert nem lehet aritmetikat definialni az Inf-fel,e s ezert nem
szam, hanem hatarertek. ezt ar egyszer megmutattam, es elfogadtad, tarsd
magad a tanulsagokhoz! lim(n)=inf lim(2n)=inf => inf-inf=inf => inf=0
badarsag math